Курсовая работа сложные проценты. Применение сложных процентов в экономических расчётах Прибыль: подходы к определению

Все большую актуальность получают вопросы расчета и прогнозирования финансово-экономических показателей. В современных условиях финансовые математические модели представляют собой неотъемлемую и очень важную часть статистического анализа с целью выработки и принятия решений.

В финансово-экономических расчетах денежные потоки (сумма денег) всегда связываются с конкретными интервалами времени. В связи с этим в финансовых сделках (договорах, контрактах) обязательно даются фиксированные сроки, даты, периодичность выплат (или поступление денежных средств). В финансовой математике фактор времени учитывается с помощью исчисления (применения) процентной ставки, учитывающей интенсивность начисления процентов (процентных денег). Процентная ставка - это отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за строго зафиксированный отрезок времени, к величине кредита, ссуды и т.д. Интервал времени, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления (накопления).

Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока действия кредита, ссуды. Такого рода проценты называются простыми процентными ставками. В этом случае распределение суммы накопления описывается равномерным линейным законом распределения, а сам процесс наращения может быть выражен в виде арифметической профессии:

FV=PV(1 +n * i) или FV=PV + I,

где FV - наращенная сумма;

PV - текущая (первоначальная) сумма;

n - количество периодов начислений;

i - ставка процентов;

i= PV * п * i - процентный доход за весь срок.

В некоторых случаях возможно применение дискретно изменяющихся во времени процентных ставок. Например, ставка простого процента в первый год равна 10%, во второй - 15%, в третий - 20%.

Когда периоды начисления (например, по годам) равны, то формула наращения по простым процентам имеет вид: FV=PV (1+n-i) m ,

где m - общее число операций реинвестирования.

В отечественной практике, как правило, не делают различий между понятиями ссудного (кредитного) процента и учетной ставки. Обычно применяют собирательный термин - процентная ставка. В то же время термин учетная ставка встречается применительно к ставке рефинансирования ЦБ РФ, а также к вексельным операциям.

Нужно подчеркнуть, что начисление процентов в большинстве случаев осуществляется в конце каждого периода (интервала) начисления. Такой способ определения и начисления процентов носит название декурсивного способа. В отдельных случаях в соответствии с заключенными договорами применяется антисипативный (предварительный) способ, т.е. проценты начисляются в начале каждого периода начисления.

В финансовых расчетах наиболее часто встречаются задачи по определению наращенной суммы FV по заданной (первоначальной) величине текущей стоимости ссуды (кредита) PV, а также текущей суммы (полученной) PV по заданной наращенной сумме FV. Первый тип задач называется компаудингом (процессом накопления), второй тип задач - дисконтированием. Разница величин текущей стоимости PV наращенной суммы FV называется дисконтом D k , т.е.D K = FV – PV.

Простые проценты могут быть точными, когда при расчете год берется равным фактической его продолжительности в днях, или обыкновенными, когда длительность года берется равной 360 дням. Принятое количество дней в году называется временной базой.

Cуществуют и такие понятия, как коммерческий (или банковский) учет, учет векселей, дисконтирование по учетной ставке (по простым процентам). В практике финансово-кредитных отношений простые учетные ставки применяются при учете векселей и других денежных обязательств. В зависимости от формы представления капитала и способа выплаты дохода ценные бумаги подразделяются на две группы: долговые (купонные облигации, сертификаты, векселя - имеющие фиксированную процентную ставку) и долевые (акции), представляющие долю держателя в реальной собственности и обеспечивающие получение дивиденда в неограниченное время. Все прочие виды ценных бумаг являются производными от долговых и долевых: это опционы, фьючерсные контракты, приватизационные чеки.

С целью избежания ошибок и потерь в условиях инфляции (снижения покупательной способности денег) нужно учитывать механизм влияния инфляции на результат финансовых операций. При расчетах используют относительную величину уровня инфляции, т.е. темп инфляции α: α=(PV α – PV)/PV или α= РV/PV*100

где α - темп инфляции;

PV α - сумма, отражающая фактическую покупательную способность (фактическую стоимость товара через период времени /);

PV - сумма при отсутствии инфляции;

РV= PV α – PV – сумма инфляционных денег.

Cущность простых процентов заключается в том, что они начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока ссуды (кредита).

В практике проведения финансовых расчетов дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом используют один из двух вариантов

1)точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды:

где Nд- продолжительность начисления в годах;

Д - продолжительность периода начисления в днях;

К - продолжительность года в днях.

Точное число дней ссуды Д определяется по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года (из номера, соответствующего дню окончания займа (ссуды), вычитают номер первого дня);

2)обыкновенный процент получают, когда применяется приблизительное число дней ссуды, а продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням. Этот метод применяется при погашении облигаций (займа). Наращенная сумма FVв этих случаях определяется из выражения

Определим ставку процентов, учитывающую инфляцию Iα, по формуле И. Фишера.

Краткое теоретическое обоснование

В средне- и долгосрочных финансовых и коммерческих операциях проценты могут выплачиваться не сразу после их начисления, а присоединяться к сумме долга. В этом случае для наращения применяют сложные проценты.

При начислении сложных процентов (compound interest) принимается такой способ, при котором за базу начисления процентов принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования. В этом случае часто говорят, что проценты начисляются на проценты.

В отличие от простых процентов база для начисления сложных процентов не остается постоянной, а увеличивается с каждым шагом во времени. Наращение по сложным процентам представляет собой последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.

Наращенная сумма по сложным процентам рассчитывается по формуле S=Р(1+r) t , где t – количество периодов начисления.

Пример 2.1. Какой величины достигнет величина долга, равного 1 млн. руб. через пять лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?

S =1 000 000(1+0,155) 5 =2 055 464,22 руб. 

В договорах обычно указываются годовая ставка r и количество начислений процентов m в течение года. Это означает, что базовый период составляет год, деленный на m , а ставка сложных процентов для периода равна r / m . Формула для сложных процентов с учетом знаков финансовых функций Excel приобретет вид: S+Р(1+ r / m ) t = 0. Параметр t измеряется в периодах. Если начисление происходит k лет, то формула приобретает вид S+P(1+r / m ) km =0.

Помимо фиксированных во времени процентных ставок применяют «плавающие» ставки (floating rate). Сумма наращения с переменными ставками определяется по формуле: , где
– последовательные во времени значения процентных ставок;
– периоды действия соответствующих ставок.

Пример 2.2. Ссуда выдана на 5 лет. Фиксированная часть процентной ставки установлена в 12% годовых плюс надбавки (маржа) 0,5% в первые два года и 0,75% - в остальные. Найти множитель наращения.

Множитель наращения составит:

q = (1+0,125) 2 (1+0,1275) 3 =1,81407 

Часто период начисления процентов не составляет целое число лет. В этом случае для начисления применяют два метода. При общем методе расчет ведется по формуле сложных процентов. При смешанном методе за целое число лет проценты начисляют по формуле сложных процентов, а за дробную часть периода – по формуле простых процентов:
, гдеa + b = t ; a – целое число периодов; b – дробная часть периода t .

Порядок выполнения работы

Для расчетов задач начисления сложных процентов используем тот же алгоритм работы и финансовые функции, что и для простых процентов.

В ячейку В1 поместим величину начального значения вклада. В ячейки B2:G2 разместим числа 0, 1,..., 5, в ячейки АЗ:А7 величины 10 %, 20 %,..., 50 % (эти числа заносятся с использованием приемов генерации арифметических прогрессий). Нужно табулировать функцию двух переменных (процентная ставка и количество лет), зависящую от параметра – начального вклада. Введем в ячейку ВЗ формулу =БС ($АЗ, В$2, -$В$1). Формула копируется в остальные ячейки интервала B3:G7. 

Пример 2.4. Ссуда в 20000 долл. дана на полтора года под ставку 28 % годовых с ежеквартальным начислением. Определить сумму конечного платежа.

Здесь базовый период - квартал. Срок ссуды составляет 6 периодов (4 квартала в году, срок полтора года), за период начисляется 7 %=28 %/4. Тогда формула, дающая решение задачи, имеет вид: = БC (28 % / 4, 4 * 1.5, 20000). Она возвращает результат -$ 30014.61. 

Задачи

4. Банк принимает вклад на срок 3 месяца с объявленной годовой ставкой 100 % или на 6 месяцев под 110 %. Как выгоднее вкладывать деньги на полгода: дважды на три месяца или один раз на 6 месяцев?

5. Сумма 2000 руб. размещена под 9 % годовых на 3 года. Проценты начисляются раз в квартал. Какая сумма будет на счете?

6. Какова сумма долга через 26 месяцев, если его первоначальная величина 500 000 долл., проценты сложные, ставка – 20 % годовых, начисление поквартальное? Провести вычисления общим и смешанным методами.

7. В банке получен кредит на сумму 250 млн. руб. Годовая процентная ставка составляет 9,5% при принятой продолжительности года 360 дней. Провести вычисления величины суммы накопленного долга общим и смешанным методами при различном периоде кредитования, продолжительность которого:

равна целому числу лет (без дробной части) – 3 года;

равна одному году;

равна меньше года – 0,25 года;

равна целому числу лет + доля года – 2 года и 270 дней.

Сравнить полученные значения по вариантам и выявить закономерности в различии результатов.

1 слайд

2 слайд

ВВЕДЕНИЕ 1. Актуальность 2. История происхождения. 3. Происхождения обозначения. 4. Правила набора. 5. Сравнение величин в процентах 6. Виды процентов. 7. Факторы, учитываемые в финансово-экономических расчетах. 8. Заключение.

3 слайд

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчётов расширяется. Актуальность.

4 слайд

Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. История происхождения.

5 слайд

Знак % произошёл благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменялось словом «cento» (сто) и писали сокращённо – cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %. Происхождения обозначения.

6 слайд

В тексте знак процента используется только при числах в цифровой форме, от которых при наборе отделяется неразрывным пробелом (доход 67 %), кроме случаев, когда знак процента используется для сокращённой записи сложных слов, образованных при помощи числительного и прилагательного процентный. Правила набора.

7 слайд

Иногда бывает удобным сравнивать две величины не по разности их значений, а в процентах. Сравнение величин в процентах

8 слайд

Различают простые и сложные виды процентов. При использовании простых процентов процент начисляется на первоначальную сумму вклада (кредита) на протяжении всего периода начисления. Виды процентов

9 слайд

Методы финансовой математики используются в расчетах параметров, характеристик и свойств инвестиционных операций и стратегий, параметров государственных и негосударственных займов, ссуд, кредитов, в расчетах амортизации, страховых взносов и премий, пенсионных начислений и выплат, при составлении планов погашения долга, оценке прибыльности финансовых сделок. Факторы, учитываемые в финансово-экономических расчетах.

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

FV = PV + I = PV + PV i = PV (1 + i)

– за один период начисления;

FV = (PV + I) (1 + i) = PV (1 + i) (1 + i) = PV (1 + i)2

– за два периода начисления;

отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:

FV = PV (1 + i)n = PV kн,

где FV – наращенная сумма долга;

PV – первоначальная сумма долга;

i – ставка процентов в периоде начисления;

n – количество периодов начисления;

kн – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Эта формула называется формулой сложных процентов.

Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы и представлены в Приложении 2. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i. 5>>>

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 4.

Рис. 4. Наращение по простым и сложным процентам.

Как видно из рисунка 4, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом i,

если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)n ;

если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i)n ;

если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i)n .

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Пример 8. Сумма в размере 2"000 долларов дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Наращенная сумма

FV = PV (1 + i)n = 2"000 (1 + 0"1)2 = 2"420 долларов

FV = PV kн = 2"000 1,21 = 2"420 долларов,

где kн = 1,21 (Приложение 2).

Сумма начисленных процентов

I = FV - PV = 2"420 - 2"000 = 420 долларов. 6>>>

Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2"420 долларов, из которой 2"000 долларов составляет долг, а 420 долларов – "цена долга".

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

FV = PV (1 + i)n,

где n – период сделки;

a – целое число лет;

b – дробная часть года.

смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:

FV = PV (1 + i)a (1 + bi).

Поскольку b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Пример. В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.

Общий метод:

FV = PV (1 + i)n = 250 (1 + 0,095)2,9 = 320,87 тыс. долларов.

Смешанный метод:

FV = PV (1 + i)a (1 + bi) =

250 (1 + 0,095)2 (1 + 270/360 0,095) =

321,11 тыс. долларов.

Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят

I = S - P = 320,87 - 250,00 = 70,84 тыс. долларов, 7>>>

а по смешанному методу

I = S - P = 321,11 - 250,00 = 71,11 тыс. долларов.

Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.

При пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки.

Сравните полученный результат с результатом примера 1. Не трудно заметить, что сложная ставка дает большую сумму процентов.

При расчете по смешанному методу результат всегда оказывается больше.

Работа добавлена на сайт сайт: 2015-07-10

Заказать написание уникльной работы

;font-family:"Times New Roman"">ОГЛАВЛЕНИЕ

;font-family:"Times New Roman"">Введение………………………………………………………………………1

">Проценты……………………………………………………………………...2
">Применение простых и сложных процентов ;color:#000000">……………………………………………………………………6
;color:#000000">Применение простых процентов…………………………………………...7
;color:#000000">Применение сложных процентов…………………………………….…….9
">Сравнение методов простых и сложных процентов ;color:#000000">…………………………………………………………………..14
">Комбинированные схемы начисления процентов ;color:#000000">………………………………………………………………..…16
">Номинальная процентная ставка……………………………………………...........................................18
;color:#000000">Понятие номинальной процентной ставки…………………………….…19
;color:#000000">Эффективная процентная ставка……………………………………….…20
;color:#000000">Непрерывное начисление сложных процентов……………………..……21
">ПРОЦЕНТНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ……………………………………………...22

">Библиографический список………………………………………....25

">ЗАКЛЮЧЕНИЕ……..…………………………………………………….........26

">ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………………………………………….....27

ВВЕДЕНИЕ

;font-family:"Times New Roman"">В любой развитой рыночной экономике процентная ставка в национальной валюте является одним из самых важных макроэкономических показателей, за которым пристально следят не только профессиональные финансисты, инвесторы и аналитики, но также предприниматели и простые граждане. Причина такого внимания ясна: процентная ставка - это самая главная цена в национальной экономике: она отражает цену денег во времени. Кроме того, двоюродная сестра процентной ставки - это уровень инфляции, измеряемый также в процентных пунктах и признаваемый в соответствии с монетаристской парадигмой одним из главных ориентиров и результатов состояния национальной экономики (чем меньше инфляция, тем лучше для экономики, и наоборот). Родственная связь здесь проста: уровень номинальной процентной ставки должен быть выше уровня инфляции, при этом оба показателя измеряются в процентах годовых. В современной экономической теории общий термин "процентная ставка" используется в единственном числе. Здесь она рассматривается в качестве инструмента, с помощью которого государство в лице монетарных властей воздействует на экономический цикл страны, сигнализируя об изменении кредитно-денежной политики и изменяя объем денежной массы в обращении.

;font-family:"Times New Roman"">Многообразие конкретных процентных ставок в национальной валюте - тема, которая является весьма полезным практическим знанием, накопление которого в жизни любого человека происходит эмпирическим путем. Благодаря средствам массовой информации, либо в своей профессиональной деятельности, либо при управлении личными сбережениями и инвестициями, мы все слышали или регулярно сталкиваемся с различными процентными ставками по разнообразным продуктам.

;font-family:"Times New Roman"">1. ПРОЦЕНТЫ

;font-family:"Times New Roman"">Процентами называют сумму, которую уплачивают за пользование денежными средствами. Это абсолютная величина дохода.

;font-family:"Times New Roman"">Отношение процентных денег, полученных за единицу времени, к величине капитала называется процентной ставкой, или таксой. Относительно момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами проценты подразделяются на обычные и авансовые.

;font-family:"Times New Roman"">Обычные (декурсивные, ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">postnumerando ;font-family:"Times New Roman"">) проценты начисляются в конце периода относительно исходной величины средств. Доход на процент выплачивается в конце периодов финансовой операции.

;font-family:"Times New Roman"">Под периодом начисления процентов следует понимать отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов или срок финансовой операции, если проценты начисляются один раз (рис. 1). Как видно из названия, эти проценты (обычные) применяются чаще, в большинстве депозитных и кредитных операций, а также в страховании.

;font-family:"Times New Roman"">Схема начисления процентов

;font-family:"Times New Roman"">Если же доход, определяемый процентом, выплачивается в момент предоставления кредита, то данная форма расчетов называется авансовой, или учетом, а применяемые проценты авансовыми (антисипативными, ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">prenumerando ;font-family:"Times New Roman"">), которые начисляется в начале периода относительно конечной суммы денег.

;font-family:"Times New Roman"">Доход на процент выплачивается в начале периода, в момент предоставления долга. Так рассчитывают проценты некоторых видах кредитования, например при продаже товаров в кредит, в международных расчетах, операциях с дисконтными ценными бумагами. При этом базой для расчета процентов служит сумма денег с процентами (сумма погашения долга), а исчисленные таким образом проценты взимаются вперед и являются авансом.

;font-family:"Times New Roman"">Существуют следующие виды процентных ставок:

;font-family:"Times New Roman"">Декурсивная ставка, ;font-family:"Times New Roman"">норма доходности ;font-family:"Times New Roman""> которой рассчитывается по начальной сумме кредита. Доход на процент выплачивается вместе с суммой кредита.

;font-family:"Times New Roman"">Антисипативная ставка, норма доходности которой рассчитывается по конечной сумме долга. Доход на процент выплачивается в момент предоставления кредита.

;font-family:"Times New Roman"">Действительная ставка, норма доходности которой соответствует получению дохода на процент один раз в год.

;font-family:"Times New Roman"">Номинальная ставка, доход на процент которой увеличивается кратное число раз в год.

;font-family:"Times New Roman"">Практика уплаты процентов основывается на теории наращивания денежных средств по арифметической или геометрической прогрессии.

;font-family:"Times New Roman"">Арифметическая прогрессия соответствует простым процентам, геометрическая сложным, т.е. в зависимости от того, что является базой для начисления переменная или постоянная величина.

;font-family:"Times New Roman"">Проценты делятся на:

;font-family:"Times New Roman"">- простые, которые весь срок обязательства начисляются на первоначальную сумму;

;font-family:"Times New Roman"">- сложные, база для начисления которых постоянно меняется за счет присоединения ранее начисленных процентов.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Наращение может осуществляться по схеме простых и сложных процентов.

;font-family:"Times New Roman"">Формула наращения простых процентов (simpleinterest). Наращение простых процентов означает, что инвестируемая сумма ежегодно возрастает на величину PV r. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:

;font-family:"Times New Roman"">FV = PV (1 + r n).

;font-family:"Times New Roman"">Формула наращения сложных процентов (compoundinterest). Наращение по схеме сложных процентов означает, что очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае размер инвестированного капитала через n лет можно определить по формуле:

;font-family:"Times New Roman"">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">n ;font-family:"Times New Roman"">.

;font-family:"Times New Roman"">При одном и том же значении процентной ставки:

;font-family:"Times New Roman"">1) темпы наращения сложных процентов выше темпов наращения простых, если период наращения превышает стандартный интервал начисления дохода;

;font-family:"Times New Roman"">2) темпы наращения сложных процентов меньше темпов наращения простых, если период наращения меньше стандартного интервала начисления дохода.

;font-family:"Times New Roman"">Области применения простых и сложных процентов. Простые и сложные проценты могут применяться как в отдельных операциях, так и одновременно. Области применения простых и сложных процентов можно разделить на три группы:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1. операции с применением простых процентов;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">2. операции с применением сложных процентов;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">3. операции с одновременным применением простых и сложных процентов.

;font-family:"Times New Roman"">2 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

">С экономической точки зрения метод сложных процентов является более обоснованным, так как он выражает возможность непрерывного реинвестирования (повторного вложения) денежных средств. Тем не менее, для краткосрочных (продолжительностью менее года) финансовых операций чаще всего используется метод простых процентов. Тому есть несколько причин:

;font-family:"Times New Roman"">Во-первых, и ещё несколько десятилетий назад это было достаточно актуально, расчёты с применением метода простых процентов намного проще, чем расчёты с применением метода сложных процентов.
;font-family:"Times New Roman"">Во-вторых, при небольших процентных ставках (в пределах 30%) и небольших промежутках времени (в пределах одного года) результаты, полученные с помощью метода простых процентов, довольно близки к результатам, полученным с применением метода сложных процентов (расхождение в пределах 1%). Если словосочетание «формула Тэйлора» вам о чём-то говорит, то вы поймёте, почему это так.
;font-family:"Times New Roman"">В-третьих, и, возможно, это основная причина, задолженность, найденная с помощью метода простых процентов для промежутка времени меньше года, всегда ;font-family:"Times New Roman"">больше ;font-family:"Times New Roman"">, чем задолженность, найденная с применением метода сложных процентов. Так как правила игры всегда диктует кредитор, то понятно, что в таком случае он выберет первый метод.

;font-family:"Times New Roman"">2.1 Применение простых процентов

Областью применения простых процентов чаще всего являются краткосрочные операции(со сроком до одного года) с однократным начислением процентов (краткосрочные ссуды, вексельные кредиты) и реже долгосрочные операции.

;font-family:"Times New Roman"">При краткосрочных операциях используется так называемая промежуточная процентная ставка, под которой понимается годовая процентная ставка, приведенная к сроку вложения денежных средств. Математически промежуточная процентная ставка равна доле годовой процентной ставки. Формула наращения простых процентов с использованием промежуточной процентной ставки имеет следующий вид:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + f r),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">или

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + t r / Т),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где f=t/T;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">t срок вложения денежных средств (при этом день вложения и день изъятия денежных средств принимаются за один день); Т расчетное количество дней в году.

;font-family:"Times New Roman"">Придолгосрочныхоперациях начисление простых процентов рассчитывается по формуле:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r n),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где n срок вложения денежных средств (в годах). ,

;font-family:"Times New Roman"">2.2 Применение сложных процентов

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Областью применения сложных процентов являются долгосрочные операции (со сроком, превышающим год), в том числе предполагающие внутригодовое начисление процентов.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">В первом случае применяется обычная формула начисления сложных процентов:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Во втором случае применяется формула начисления сложных процентов с учетом внутригодового начисления. Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества выплат дохода в год (m) внутригодовое начисление может быть:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1) полугодовым (m = 2);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">2) поквартальным (m = 4);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">3) ежемесячным (m = 12);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">4) ежедневным (m = 365 или 366);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">5) непрерывным (m -» ?).

;font-family:"Times New Roman"">Формула наращения при полугодовом, поквартальном, ежемесячном и ежедневном начислении сложных процентов имеет следующий вид:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r / m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">nm ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где PV исходная сумма;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">г годовая процентная ставка;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">n количество лет;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">m количество внутригодовых начислений;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV наращенная сумма.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Процентный доход при непрерывном начислении процентов рассчитывается по следующей формуле:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> = Р e ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">rn ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">или:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> = P e ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">?n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где: e = 2, 718281 трансцендентное число (число Эйлера);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">е ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">?n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> множитель наращения, который используется как при целом, так и дробном значении n;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">? специальное обозначение процентной ставки при непрерывном начислении процентов (непрерывная процентная ставка, «сила роста»);

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">n количество лет.

;font-family:"Times New Roman"">При одинаковой величине исходной суммы, одинаковом сроке вложения денежных средств и значении процентной ставки возвращаемая сумма оказывается больше в случае использования формулы внутригодовых начислений, чем в случае использования обычной формулы начисления сложных процентов:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">FV = PV (1 + r / m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">nm ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">> FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">.

;font-family:"Times New Roman"">Если доход, полученный при использовании внутригодовых начислений, выразить в процентах, то полученная процентная ставка окажется выше той, которая использовалась при обычном начислении сложных процентов.

;font-family:"Times New Roman"">Таким образом, первоначально заявленная годовая процентная ставка для начисления сложных процентов, называемая номинальной, не отражает реальной эффективности сделки. Процентная ставка, отражающая фактически полученный доход, называется эффективной. Классификацию процентных ставок при внутригодовом начислении сложных процентов наглядно иллюстрирует рисунок.

;font-family:"Times New Roman"">Номинальная процентная ставка задается изначально. Для каждой номинальной процентной ставки и на ее основании можно рассчитать эффективную процентную ставку (r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub">е ;font-family:"Times New Roman"">).

;font-family:"Times New Roman"">Из формулы наращения сложных процентов можно получить формулу эффективной процентной ставки:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">;

;font-family:"Times New Roman"">Приведем формулу наращения сложных процентов с внутригодовыми начислениями, при которых каждый год начисляется r / m процента:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r / m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">nm ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Тогда эффективная процентная ставка находится по формуле:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">(1 + r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">) = (1 + r/m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">m ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">или

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">e ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US"> = (l + r/m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">m ;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">- 1,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где r ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:sub;color:#000000">е ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> эффективная процентная ставка; r номинальная процентная ставка; m количество внутригодовых выплат.

;font-family:"Times New Roman"">Величина эффективной процентной ставки зависит от количества внутригодовых начислений (m):

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1) при m = 1 номинальная и эффективная процентные ставки равны;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">2) чем больше количество внутригодовых начислений (значение m), тем больше эффективная процентная ставка.

;font-family:"Times New Roman"">Областью одновременного применения простых и сложных процентов являются долгосрочные операции, срок которых составляет дробное количество лет. При этом начисление процентов возможно двумя способами:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">1) начисление сложных процентов с дробным числом лет;

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">2) начисление процентов по смешанной схеме.

;font-family:"Times New Roman"">В первом случае для расчетов применяется формула сложных процентов, в которой присутствует возведение в дробную степень:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n+f ;font-family:"Times New Roman";color:#000000">,

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">где f дробная часть срока вложения денежных средств.

;font-family:"Times New Roman"">Во втором случае для расчетов применяется так называемая смешанная схема, которая включает формулу начисления сложных процентов с целым числом лет и формулу начисления простых процентов для краткосрочных операций:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> (1 + f r),

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">или

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">FV = PV (1 + r) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super;color:#000000">n ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> (1 + t r / Т) ;font-family:"Times New Roman";color:#52594f;display:none"> ;font-family:"Times New Roman";color:#52594f">.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">
;font-family:"Times New Roman"">3 СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

">Остановимся подробнее на второй и третьей причинах (так как первая очевидна). Если совместить приведённые в предыдущем параграфе графики роста задолженности, то получится следующая картина:

;color:#000000">
">Сравнение графиков роста задолженности по методам простых и сложных процентов.

">Таким образом, если используется одна и та же процентная ставка, то:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">для промежутков времени меньше года задолженность, найденная по методу простых процентов, всегда будет больше задолженности, найденной по методу сложных процентов;
;font-family:"Times New Roman";color:#000000">для промежутков времени больше года, наоборот, задолженность, найденная по методу сложных процентов, всегда будет больше задолженности, найденной по методу простых процентов;
;font-family:"Times New Roman";color:#000000">ну и, разумеется, для промежутка времени, равного одному году, результаты совпадают.

">При этом, если процентная ставка невелика, а промежуток времени меньше года, то S ;vertical-align:sub">сл ">(t) и S ;vertical-align:sub">пр ">(t) достаточно близки друг к другу. Однако всегда надо помнить, что если эти условия не выполняются, то расхождения в результатах могут быть значительными!

">Пример
В начале 90-х годов, в период сильной инфляции, российские банки предлагали очень большие исчисляемые сотнями процентов процентные ставки по рублёвым вкладам и кредитам.

">В качестве примера посмотрим, к каким расхождениям может привести использование простых процентов для полугодового вклада, когда процентная ставка составляет 300% годовых. Если размер вклада составляет S рублей, то через полгода на счету вкладчика будет сумма

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\

">Если бы банк использовал сложные проценты, то итоговая сумма составила бы

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\

">Разница в результатах составляет ½S , или 25% относительно сложного итога.

;font-family:"Times New Roman"">4 КОМБИНИРОВАННЫЕ СХЕМЫ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ

">На практике для продолжительных, но не целых промежутков времени особо щепетильные кредиторы иногда применяют комбинированную схему начисления процентов. При этом для целого числа лет используется метод сложных процентов, а для нецелого «остатка» метод простых процентов. Например, если ссуда размером 1 млн рублей выдана на 3 года и 73 дня (73 дня это 0,2 невисокосного года) под 10% годовых, то итоговая задолженность может быть найдена следующим способом:

;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">$S(3,2) = (1+0,1)^3 \cdot (1+0,1 \cdot 0,2) \cdot 1\ 000\ 000 = 1\ 357\ 620$ ;color:#000000">рублей ;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">.

">Комбинирование простых и сложных процентов может также естественным образом возникать при многократном повторении одной и той же краткосрочной операции. К примеру, банки предлагают своим клиентам краткосрочные депозиты (вклады) на сроки от месяца до года. В течение периода действия депозитного договора увеличение суммы на счету вкладчика происходит по простой схеме. По окончании срока вклада происходит капитализация (присоединение процентных денег к исходной сумме). Если клиент не забирает деньги, то договор по вкладу пролонгируется на новый срок и базой для начисления процентов становится уже увеличенная сумма. Таким образом, с точки зрения клиента банка сумма вклада, оставленного на несколько сроков, будет расти по схеме сложных процентов:

">где t продолжительность того самого «базового» вклада, а n число периодов.

">Пример
Некий банк предлагает своим клиентам срочные вклады сроком на полгода под простую процентную ставку 10% годовых. Если клиент этого банка положил на депозит 200 000 рублей, а затем дважды продлевал договор по вкладу, то через полтора года он снял со своего счёта

;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">$S(1,5) = (1+0,1 \cdot \frac{1}{2})^3 \cdot 200\ 000 = 231\ 525$ ;color:#000000">рублей ;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">.

;font-family:"Times New Roman"">5 НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

">С этого параграфа мы начинаем рассмотрение метода сложных процентов, не столь часто применяемого в кредитовании, как метод простых процентов, но широко распространённого в других областях финансов. В частности, метод сложных процентов используется для начисления процентных денег по долгосрочным вкладам (продолжительностью более года).

">Напомню, что смысл этого метода выражается фразой «начисление процентов на проценты». Это значит, что задолженность заёмщика в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент. При этом размер задолженности увеличивается в геометрической прогрессии (или в соответствии с показательной функцией, если считать время непрерывным). Например, если вкладчик положил в банк 100 тысяч рублей под сложную процентную ставку i = 6%, то через, скажем, пять месяцев на его счету будет сумма

;color:#000000">S(5/12) = (1 + i) ;vertical-align:super;color:#000000">5/12 ;color:#000000">S ;vertical-align:sub;color:#000000">0 ;color:#000000"> = 1,06 ;vertical-align:super;color:#000000">5/12 ;color:#000000"> · 100 000 ≈ 102 458 рублей.

;font-family:"Times New Roman"">5.1 Понятие номинальной процентной ставки

">Понятно, что без специальной техники производить такие вычисления не очень удобно, а до недавнего времени это было возможно только с помощью специальных таблиц сза табуированными множителями наращения. Чтобы уйти от необходимости извлекать громоздкие корни при расчётах с использованием сложных процентов, для задания сложных процентных ставок на практике применяются так называемые номинальные процентные ставки. Их суть заключается в следующем.

">Если вы положили деньги в банк, то проценты по вкладу будут начисляться не непрерывно, а с некоторой периодичностью раз в год, квартал, месяц или даже день. Этот процесс начисления процентных денег и их присоединения к сумме вклада называется «капитализацией процентов». Так вот, допустим, что капитализация процентов происходит m раз в год. Тогда, если известна j номинальная процентная ставка по вкладу, то каждый раз при начислении процентов сумма на счету вкладчика будет увеличиваться в(1 + \dfrac{j}{m}\) раз.

">Понятно, что по сути речь здесь идёт о применении комбинированной схемы простых и сложных процентов.

">Пример
Вкладчик положил на счёт в банке сумму в 200 тысяч рублей. Если номинальная процентная ставка по вкладу равна 8%, а проценты капитализируются раз в квартал (банк, разумеется, использует сложные проценты), то через полгода (то есть после двух начислений процентов) сумма на счету вкладчика будет составлять

;color:#000000">200 000 · (1 + 0,08/4) ;vertical-align:super;color:#000000">2 ;color:#000000"> = 208 080 рублей.

;font-family:"Times New Roman"">5.2 Эффективная процентная ставка

">Если задана номинальная процентная ставка, и капитализация процентов осуществляется m раз в год, то за год сумма вклада увеличится в

" xml:lang="en-US" lang="en-US">$\left(1+ \dfrac{j}{m} \right)^m$

">раз.

">Так как, с другой стороны, всегда должно выполняться соотношение для сложной процентной ставки:

" xml:lang="en-US" lang="en-US">S(1) = (1+ i) S ;vertical-align:sub" xml:lang="en-US" lang="en-US">0

">то

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\[\tag{15.1} i = \left(1+ \frac{j}{m} \right)^m - 1\]

">Найденная таким образом сложная процентная ставка называется «эффективной», так как она, в отличие от номинальной ставки, характеризует настоящую доходность (эффективность) ссудной операции.

">Пример
Если номинальная ставка по вкладу равна 18%, и проценты начисляются каждый месяц, то эффективная процентная ставка будет составлять

;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">$i = \left(1+ \dfrac{0,18}{12} \right)^{12} - 1 \approx 0,1956 = 19,56\%$ ;color:#000000">годовых ;color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">,

">то есть на полтора процента больше, чем заявлено.

">Вообще говоря, эффективная процентная ставка всегда больше, чем номинальная. В этом нетрудно убедиться, разложив правую часть соотношения (15.1) по формуле бинома Ньютона.

;font-family:"Times New Roman"">5.3 Непрерывное начисление сложных процентов

">Как известно, для стремящегося к бесконечности числа x существует предел

" xml:lang="en-US" lang="en-US">\[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = e,\]

">где e = 2,718281828... основание натуральных логарифмов. Эта формула называется вторым замечательным пределом. Из неё следует, в частности, что справедливо соотношение

">\[\ " xml:lang="en-US" lang="en-US">lim ">_{ " xml:lang="en-US" lang="en-US">m "> \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">to "> \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">infty ">} \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">left ">(1 + \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">frac ">{ " xml:lang="en-US" lang="en-US">j ">}{ " xml:lang="en-US" lang="en-US">m ">} \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">right ">)^ " xml:lang="en-US" lang="en-US">m "> = " xml:lang="en-US" lang="en-US">e ">^ " xml:lang="en-US" lang="en-US">j ">\]

">Значит, если капитализация процентов осуществляется достаточно часто, например, ежедневно, то эффективную процентную ставку можно приближённо найти следующим образом:

">\[\ " xml:lang="en-US" lang="en-US">tag ">{15.2} " xml:lang="en-US" lang="en-US">i "> \ " xml:lang="en-US" lang="en-US">approxe ">^ " xml:lang="en-US" lang="en-US">j "> - 1\]

">Пример
Снова будем предполагать, что номинальная процентная ставка по вкладу составляет 18%, но капитализация процентов осуществляется ежедневно (m = 365). Точное значение эффективной процентной ставки, найденное по формуле (15.1), будет равно

">Если же использовать приближённую формулу (15.2), то можно получить следующий результат:

;color:#000000">i ≈ e ;vertical-align:super;color:#000000">0,18 ;color:#000000"> 1 = 0,197217...

">Как видите, расхождение совсем невелико.

6 Процентные начисления

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Для начисления процентов по вкладам (депозитам), да и кредитам тоже, применяются следующие формулы процентов:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">формула простых процентов,
;font-family:"Times New Roman";color:#000000">формула сложных процентов.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Порядок начисления процентов формулам осуществляется с использованием фиксированной или плавающей ставки.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Фиксированная ставка, это когда установленная по вкладу банка процентная ставка, закреплена в депозитном договоре и остается неизменной весь срок вложения средств, т.е. фиксируется. Такая ставка может измениться только в момент автоматической пролонгации договора на новый срок или при досрочном расторжении договорных отношений и выплате процентов за фактический срок вложения по ставке «до востребования», что оговаривается условиями.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Плавающая ставка, это когда первоначально установленная по договору процентная ставка может меняться в течение всего срока вложения. Условия и порядок изменения ставок оговариваются в депозитном договоре. Процентные ставки могут изменяться: в связи с изменениями ставки рефинансирования, с изменением курса валюты, с переходом суммы вклада в другую категорию, и другими факторами.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Для начисления процентов с применением формул, необходимо знать параметры вложения средств на депозитный счет, а именно:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">сумму вклада (депозита),
;font-family:"Times New Roman";color:#000000">процентную ставку по выбранному вкладу (депозиту),
;font-family:"Times New Roman";color:#000000">цикличность начисления процентов (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и т.д.),
;font-family:"Times New Roman";color:#000000">срок размещения вклада (депозита),
;font-family:"Times New Roman";color:#000000">иногда требуется и вид используемой процентной ставки - фиксированной или плавающей.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Формула простых процентов применяется, если начисляемые на вклад проценты причисляются к вкладу только в конце срока депозита или вообще не причисляются, а переводятся на отдельный счет, т.е. расчет простых процентов не предусматривает капитализации процентов. При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Формула простых процентов по вкладам выглядит так:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">S сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">

;font-family:"Times New Roman";color:#000000" xml:lang="en-US" lang="en-US">t ;font-family:"Times New Roman";color:#000000"> - количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">P первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Если начисляемые по вкладу проценты, причисляются к вкладу через равные промежутки времени (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально), то в этих случаях сумма процентов рассчитывается по формуле сложных процентов. Сложные проценты предусматривают капитализацию процентов (начисление процентов на проценты). Для расчета сложных процентов можно применять две формулы сложных процентов по вкладам, которые выглядят так:

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">I годовая процентная ставка.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">t количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">K количество дней в календарном году (365 или 366).

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">P сумма привлеченных в депозит денежных средств.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Sp сумма процентов (доходов).

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">n число периодов начисления процентов.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">S сумма вклада (депозита) с процентами.

;font-family:"Times New Roman";color:#000000">Однако, при расчете процентов проще сначала вычислить общую сумму вклада с процентами, и только затем вычислять сумму процентов (доходов). ;font-family:"Times New Roman"">
БИБЛИОРГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

;font-family:"Times New Roman"">Техника финансово-экономических расчетов: Учеб.пособие. М.: Финансы и математика, 2000. 80с.: ил.
;font-family:"Times New Roman"">Джон К. ХаллГлава 4. Процентные ставки // Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты = Options, FuturesandOtherDerivatives. 6-е изд. М.: ;font-family:"Times New Roman"">«Вильямс» ;font-family:"Times New Roman"">, 2007. С. 133-165.
;font-family:"Times New Roman"">http://forexaw.com/Cont-Economy/
;font-family:"Times New Roman"">http://www.bibliotekar.ru/
;font-family:"Times New Roman"">http://ru.wikipedia.org/

;font-family:"Times New Roman"">
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

;font-family:"Times New Roman"">В настоящее время в условиях стабилизации экономики ниша услуг банковского кредитования для российского рынка еще не заполнена, т.е. можно выделить кредитование как наиболее перспективное средство получения доходов банками.

;font-family:"Times New Roman"">В условиях стабилизации экономики наметилась тенденция увеличения объема заимствований в промышленности и банкам для привлечения потенциальных заемщиков. Необходимо определить величину процентной ставки кредитования, как наиболее важный фактор, влияющий на выбор заемщиком того или иного банка, а, следовательно, необходимо более детально рассматривать составляющие, формирующие величину процентной ставки, влияющие на стоимость кредитов.

;font-family:"Times New Roman"">Также в условиях стабилизации экономики становится возможным расширение такого перспективного направления, обладающего огромным потенциалом кредитование потребительского сектора. И здесь процентная ставка также решает определяющую роль в привлечении частных кредитозаемщиков.

;font-family:"Times New Roman"">
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

;font-family:"Times New Roman"">Задача 1

;font-family:"Times New Roman"">Банк предлагает 17 % годовых за размещение денежных средств на открываемых им депозитных счетах. Используя формулу дисконтирования, рассчитайте размер первоначального вклада, чтобы через 4 года иметь на счете 180 тыс. руб.

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S = P * (1+i) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super" xml:lang="en-US" lang="en-US">n

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">180 000 = P * (1+0,17) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super" xml:lang="en-US" lang="en-US">4

;font-family:"Times New Roman"">180 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> * 1,8738

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> = 96 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">061руб.

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: для того, чтобы иметь на вкладе через 4 года 180 тыс. руб. необходимо, чтобы размер первоначального вклада составлял 96 061 рубль.

;font-family:"Times New Roman"">Задача 2

;font-family:"Times New Roman"">Гражданин получил в банке ипотечную ссуду в размере 1,5 млн руб. сроком на 8 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка сложных процентов равна 14% годовых; на следующие два года устанавливается маржа в размере 0,5% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Найти сумму, которую гражданин должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S = P×((1+i1)*n1 +(1+i2)*n2 + …+(1+ik)*nk)

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman""> = 1 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">500 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 × ((1+0,14) + (1+0,145)*2 + (1+0,152)*5)) = 1 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">500 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 *9,19 = 13 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">785 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 рублей.

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: гражданин по окончанию срока ссуды должен вернуть в банк 13, 785 млн. рублей.

;font-family:"Times New Roman"">Задача 3

;font-family:"Times New Roman"">Организация, имея свободные денежные средства в размере 2-х млн руб., намерена инвестировать их на срок 5 лет. Возможны два варианта вложений, определите более выгодный из них:

;font-family:"Times New Roman"">а) средства вносятся на депозитный счет в банке с начислением процентов каждые 6 месяцев по ставке 18% годовых;

;font-family:"Times New Roman"">б) средства передаются другой организации в качестве ссуды с начислением 24% ежегодно.

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"">а) ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman""> = 2 000 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 * (1+0,18/2) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">10 ;font-family:"Times New Roman"">= 2 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 * 2,37= 4 740 000 руб.

;font-family:"Times New Roman"">б) ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman""> = 2 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 * (1+0,24) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">5 ;font-family:"Times New Roman"">= 2 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 * 2,93 = 5 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">860 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 руб.

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: второй вариант более выгодный.

;font-family:"Times New Roman"">Задача 4

;font-family:"Times New Roman"">Определите необходимую сумму вклада в настоящем, чтобы через два года иметь накопления в размере 150 тыс. руб. Годовая ставка процента 11%, начисление процентов производится 1 раз в квартал по схеме сложного процента.

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S = P * (1+i/m) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super" xml:lang="en-US" lang="en-US">m*n

;font-family:"Times New Roman"">150 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman"">* ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super"> ;font-family:"Times New Roman"">(1+0,11/4) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">4*2

;font-family:"Times New Roman"">150 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">000 = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman"">* (1+0,0275) ;font-family:"Times New Roman";vertical-align:super">8 ;font-family:"Times New Roman"">

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> = 120 ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US"> ;font-family:"Times New Roman"">968

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: необходимая сумма вклада - 120 968 рублей.

;font-family:"Times New Roman"">Задача 5

;font-family:"Times New Roman"">Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 317 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 18% годовых и начисляются простые проценты с приближенным числом дней?

;font-family:"Times New Roman"">Решение

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S =P × (1+n×i)

;font-family:"Times New Roman"">где ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman""> - наращенная сумма,

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> - сумма долга,

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman""> - срок (доля от года),

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">i ;font-family:"Times New Roman""> - ставка процента.

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">P ;font-family:"Times New Roman""> = ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">S ;font-family:"Times New Roman"">/ (1+ ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman"">× ;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">i ;font-family:"Times New Roman"">)

;font-family:"Times New Roman"" xml:lang="en-US" lang="en-US">n ;font-family:"Times New Roman""> = 180/360 = 0,5.

;font-family:"Times New Roman"">Р = 317 000 / (1 + 0,5×0,18) = 317 000 /1, 09 = 290 826 руб.

;font-family:"Times New Roman"">Ответ: первоначальная величина кредита составила 290 826 рублей.